Morphologie mathématique

Algorithmes morphologiques

Extraction de contour

Contour = supprimer l'intérieur : \[ \beta(A) = A - (A \ominus B) \]

Reconstruction morphologique

Reconstruire une partie de l'objet avec des dilatations et des intersections

• \( A' \subset A \) (érosion, ouverture)
• \( \delta_{B}^{A}(A') = \delta_B(A') \cap A \) : dilatation géodésique
• \( R_B^A(A') = \delta_{B}^{A} \cdots \delta_{B}^{A}(A') \) : dilatations géodésiques jusqu'à stabilité

Remarques :

• On récupère tous les détails de l'objet initial sauf pour les composantes connexes manquantes
• Peut être mieux que l'ouverture, qui supprime les détails fins.

Amincissement

Utiliser la transformée en tout-ou-rien pour détecter des points non-centraux et les supprimer :

• Masques : \( B^1, \ldots, B^8 \)
• \( \theta_B(A) = A - A \odot B\)
• \( X_{k+1} = \theta_{B^8} \cdots \theta_{B^1}(A) \)

Enveloppe convexe

Utiliser la transformée en tout-ou-rien pour détecter des points non-convexes et les ajouter : \[ X_{k+1} = X_k \cup (X_k \odot B^1) \cup \cdots \cup (X_k \odot B^{12}) \]

Remarques :

• on utilise tous les masques en même temps
• la convexité n'est pas une propriété locale : ça ne marche pas très bien

Squelette

• Problème : trouver les centres des boucles maximales.
• Solution : Faire des ouvertures et garder les résidus : \[ \sigma(A) = \cup_{k \geq 0} \left( \varepsilon_B^k(A) - \varepsilon_B^k(A) \circ B \right) \]

  S ← ∅
  	while A not empty
  	S ← S ∪ (A - A ∘ B)
  	A ← A ⊖ B
  return S

Propriétés :

• Le squelette n'est pas fin en général
• Le squelette n'est pas connexe en général
• Mais on peut reconstruire l'objet initial avec des dilatations

Élagage (pruning)

• Problème : Supprimer les branches d'un squelette depuis les extrémités
• Solution : détecter les extrémités avec la transformée en tout-ou-rien

C'est un amincissement avec les masques

Squelettes

Objectif : représentation compacte d'un objet discret. Propriétés souhaitées :

1. Même géométrie
2. Épaisseur nulle
3. Même topologie (même nombre de composantes connexes et de trous)
4. Invariant aux transformations affines (squelette de la rotation = rotation du squelette)
5. Inversible
6. Robustesse (deux objets similaires on des squelettes similaires

Axe médian (continu)

• \( X \subset \mathbb{R}^2 \)
• Boule maximale : \( B(x, r) \) telle que \( B(x, r) \subset B(x', r') \subset X \Rightarrow B(x, r) = B(x', r') \)
• Une boule maximale touche la frontière de \( X \) (au moins) deux fois.
• \( S(X) \) = union des centres de toutes les boules maximales

Propriétés :

1. Même géométrie
2. Épaisseur nulle
3. Même topologie
4. Invariant aux transformations affines
5. Inversible (avec la transformée en distance)
6. Robustesse

Axe médian (discret)

Algorithme vu tout à l'heure

Propriétés :

• Même géométrie
• Épaisseur nulle (presque)
• Même topologie
• Invariant aux transformations affines
• Inversible
• Robustesse

L'axe médian discrète n'a pas de bonnes propriétés, il faut chercher une approche différente.

Concentrons-nous sur la topologie

Topologie discrète

Quelques notions déjà abordées :

• 4-connexité, 8-connexité
• Composantes connexes, trous
• Équivalence d'homotopie (même topologie)

Formalisons cela avec les complexes cubiques

Complexe cubique

Éléments :

• 2-cube (carré unité) : \( [x, x+1] \times [y, y+1], (x,y) \in \mathbb{Z}^2 \)
• 1-cube (segment unité): \( [x, x+1] \times [y, y], [x, x] \times [y, y+1], (x,y) \in \mathbb{Z}^2 \)
• 0-cube (point) : \( [x,x] \times [y,y], (x,y) \in \mathbb{Z}^2 \)

Un ensemble de *-cubes est un complexe cubique s'il est fermé par inclusion : \( \sigma \subset \tau, \tau \in K \Rightarrow \sigma \in K \)

Complexe cubique d'un objet discret (avec 8-connexité) : \( K = \{ [x,x+1] \times [y,y+1] : (x,y) \in A \} \) plus leurs sous-cubes

Complexe cubique avec 4-connexité : même définition en utilisant le complémentaire.

Propriétés :

• Le complexe cubique \(K\) est un sous-espace de \( \mathbb{R}^2 \), sa topologie est bien définie
• Nombre de composantes connexes de \(A\) = nombre de composantes connexes de \(K\)
• Nombre de trous de \(A\) = nombre de composantes 4-connexes finies de \(A\) = nombre de trous de \(K\)

Mais on savait déjà faire ça

Caractéristique d'Euler-Poincaré

• \( \chi(X) = \) nombre de composantes connexes moins nombre de trous
• Invariant topologique : deux objets avec la même topologie ont la même caractéristique d'Euler-Poincaré
• Sur un complexe cubique = \( k^0 - k^1 + k^2\), points - segments + carrés

Il est plus facile de le calculer sur le complexe cubique de l'objet discret

On peut calculer la caractéristique d'Euler-Poincaré directement sur l'objet avec la transformée en tout-ou-rien \[ \chi(A) = |A \odot B^1| - |A \odot B^2|\]

Preuve :

• Décomposer le complexe cubique en motifs
• Trouver les configurations avec une caractéristique non nulle
• Trouver l'objet discret qui produit ce motif

Points simples

Problème : comment calculer un squelette qui a la même topologie que l'objet discret ?

Comme dans l'algorithme d'amincissement, on va supprimer des points qui ne changent pas la topologie.

Collapse élémentaire Suppression dans un complexe cubique \( K \) d'une paire de cubes \( (\sigma, \tau) \) tels que :

1. \( \sigma \subset \tau \)
2. Les deux cubes sont de dimensions consécutives (0–1 ou 1–2)
3. \( \sigma \) n'appartient pas à un autre cube .

Sous ces conditions, \( K - \{\sigma, \tau\} \) est un complexe cubique et il est homotopiquement équivalent à \( K \) (il a la même topologie)

Par transitivité, deux complexes cubiques \( K, K' \) sont homotopiquement équivalent si on peut passer de l'un à l'autre avec des collapses élémentaires.

Un point d'un objet discret est simple si sa suppression ne change pas la topologie (des complexes cubiques).

Il suffit de connaître son voisinage ⇒ On peut utiliser la transformée en tout-ou-rien avec moins de 256 masques.

Masques pour détecter les points simples (plus rotations) :