Observations :
Cycles, classes d'équivalence, base d'homologie :
Soient \(K \subset K'\). L'application inclusion \(inc : K \longrightarrow K'\) induit une application linéaire \[\iota : H_q(K) \longrightarrow H_q(K')\] entre ses groupes d'homologie (exercice)
Même nombre de trous, mais
Filtration : suite de complexes imbriqués \[K^1 \subset K^2 \subset \cdots \subset K^n\]
Soit \(f: K \rightarrow \mathbb{R}\) telle que :
Alors \( f^{-1}(-\infty, a_1] \subset f^{-1}(-\infty, a_2] \subset \cdots \) est une filtration (exercice)
Compléter cette fonction pour qu'elle définisse une filtration
Soit \(f: K_0 \rightarrow \mathbb{R}\) quelconque. On définit \( \bar{f}: K \rightarrow \mathbb{R} \)
Alors \( \bar{f} \) définit une filtration (exercice)
Éteindre cette fonction aux simplexes de dimension supérieure
Soit \(K^1 \subset \cdots \subset K^n\) une filtration. On définit \( f: K^n \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(\sigma) = i \Leftrightarrow \sigma \in K_{i} \setminus K_{i-1} \)
Alors \( f \) définit la filtration donnée (exercice)
Donc, on peut travailler avec une filtration (suite de complexes) ou avec une fonction monotone : \( \sigma \subset \tau \Rightarrow f(\sigma) \leq f(\tau) \)
Soit \( f \) monotone, \( f(K) = \{ a_1, \cdots, a_n\} \). Notation :
Le diagramme de persistance de dimension q de \( f \) est le multi-ensemble \( D_q(f) \subset \overline{\mathbb{R}}^2 \) avec
Les \( (a_i, a_j) \) sont les paires de persistance
Homologie persistante de dimension 0
Soient \( f, g: K \longrightarrow \mathbb{R} \). Leur distance est \[ \|f-g\|_{\infty} = \max_{\sigma \in K} |f(\sigma) - g(\sigma)| \]
Question : si \( f \) et \( g \) sont similaires, que se passe-t-il avec leurs diagrammes de persistance ? Comment les comparer ?
Soient \( X, Y \) deux multi-ensembles de points de \( \mathbb{R}^2 \), \[ \begin{align*} d_H(X,Y) = \max \{ &\max_{x \in X} \min_{y \in Y} \|x-y\|_{\infty},\\ &\max_{y \in Y} \min_{x \in X} \|x-y\|_{\infty} \} \end{align*} \]
Distance de Hausdorff ?
\[ d_H(D_q(f), D_q(g)) \leq \|f-g\|_{\infty} \]
En français : si on change un peu la fonction d'une filtration, son diagramme de persistance aura ses points à coté
Fonction \( f \) continue définie sur \( K \) un intervalle
Une idée de pourquoi :
\[ d_B(X,Y) = \min_{\gamma} \max_{x \in X} \|x - \gamma(x)\|_{\infty}, \] où \( \gamma:X \rightarrow Y \) bijective
Distance bottleneck ?
\[ d_B(D_q(f), D_q(g)) \leq \|f-g\|_{\infty} \]
En français : si on change un peu la fonction d'une filtration, chaque point va bouger d'un peu
Comme \( d_H(X,Y) \leq d_B(X,Y) \), ce deuxième théorème est meilleur
Les théorèmes de stabilité nous disent que :
Deux fonctions très différentes avec des diagrammes identiques ?