Homologie persistante

Observations :

• Le nombre de trous varie en fonction du paramètre
• Certains trous restent dans les étapes suivantes
• Si on bouge un peu les points, le comportement global est similaire

Rappel d'homologie

• \(K\) : complexe simplicial fini
• \(K_q\) : simplexes de \(K\) de dimension \(q\)
• \( (C, \partial) \) : complexe de chaînes induit par \(K\) avec anneau de coefficients = \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) (corps)
• \(H_q = \ker(\partial_q) / \text{im}(\partial_{q+1}) \) : groupe d'homologie de dimension \(q\) de \(K\) (espace vectoriel)
• \(\beta_q = \dim(H_q)\) = nombre de Betti de dimension \(q\)

Exemple 1

Cycles, classes d'équivalence, base d'homologie :

Soient \(K \subset K'\). L'application inclusion \(inc : K \longrightarrow K'\) induit une application linéaire \[\iota : H_q(K) \longrightarrow H_q(K')\] entre ses groupes d'homologie (exercice)

Exemple 2

Même nombre de trous, mais

• \(\iota\) n'est pas injective ⇒ « un trou de K est bouché dans K' »
• \(\iota\) n'est pas surjective ⇒ « K' a un trou qui n'était pas dans K »

Morale

L'application \(\iota : H_q(K) \longrightarrow H_q(K')\) montre
la relation entre les trous de \(K \subset K'\)

Définir la persistante

Filtration : suite de complexes imbriqués \[K^1 \subset K^2 \subset \cdots \subset K^n\]

Exemple 3

Soit \(f: K \rightarrow \mathbb{R}\) telle que :

1. \(\sigma \subset \tau \Rightarrow f(\sigma) \leq f(\tau)\)
2. \( f(K) = \{a_1 < a_2 < \cdots < a_n\} \)

Alors \( f^{-1}(-\infty, a_1] \subset f^{-1}(-\infty, a_2] \subset \cdots \) est une filtration (exercice)

Exercice 1

Compléter cette fonction pour qu'elle définisse une filtration

Exemple 4

Soit \(f: K_0 \rightarrow \mathbb{R}\) quelconque. On définit \( \bar{f}: K \rightarrow \mathbb{R} \)

• \( \bar{f}(\sigma) = f(\sigma) \), si \( \sigma \in K_0 \)
• \( \bar{f}(\sigma) = \max\{f(\tau) \vert \tau \subset \sigma, \tau \in K_0\} \), sinon

Alors \( \bar{f} \) définit une filtration (exercice)

Exercice 2

Éteindre cette fonction aux simplexes de dimension supérieure

Exemple 5

Soit \(K^1 \subset \cdots \subset K^n\) une filtration. On définit \( f: K^n \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(\sigma) = i \Leftrightarrow \sigma \in K_{i} \setminus K_{i-1} \)

Alors \( f \) définit la filtration donnée (exercice)

Donc, on peut travailler avec une filtration (suite de complexes) ou avec une fonction monotone : \( \sigma \subset \tau \Rightarrow f(\sigma) \leq f(\tau) \)

Soit \( f \) monotone, \( f(K) = \{ a_1, \cdots, a_n\} \). Notation :

• \( K^i = f^{-1}\left( -\infty, a_i \right] \)
• \(\iota_q^{i,j}: H_q(K^i) \longrightarrow H_q(K^j)\) application linéaire induite par l'inclusion (\( 1 \leq i \leq j \leq n \))
• \( \beta_q^{i,j} = \dim( \text{im}(\iota_q^{i,j}) ) \) : nombres de Betti persistants
• \( \mu_q^{i,j} = \beta_q^{i,j-1} - \beta_q^{i-1,j-1} - \beta_q^{i,j} + \beta_q^{i-1,j} \) (\( 1 \leq i < j \leq n+1,\quad \beta_q^{0,j} = \beta_q^{i,n+1} = 0 \))

Exercice 3

• Quelle inégalité entre \( \beta_q(K^i) \) et \( \beta_q^{i,j} \) ?
• Quelle inégalité entre \( \beta_q(K^j) \) et \( \beta_q^{i,j} \) ?

En français

• \( \beta_q^{i,j-1} \) = nombre de trous de \( K^i \) qui sont encore dans \( K^{j-1} \) (lien avec l'exemple précédent ?)
• \( \beta_q^{i,j-1} - \beta_q^{i-1,j-1} \) = nombre de trous qui apparaissent dans \( K^i \) et sont encore dans \( K^{j-1} \)
• \( \beta_q^{i,j} - \beta_q^{i-1,j} \) = nombre de trous qui apparaissent dans \( K^i \) et sont encore dans \( K^{j} \)
• \( \mu_q^{i,j} \) = nombre de trous qui apparaissent dans \( K^i \) et disparaissent dans \( K^{j} \)

Le diagramme de persistance de dimension q de \( f \) est le multi-ensemble \( D_q(f) \subset \overline{\mathbb{R}}^2 \) avec

• les points \( (a_i, a_j) \) avec multiplicité \( \mu_q^{i,j} \) (\( a_{n+1} = \infty \))
• les points \( (x, x) \) avec multiplicité \( \infty \), pour tout \( x \in \mathbb{R} \)

Les \( (a_i, a_j) \) sont les paires de persistance

Exemple 6

Homologie persistante de dimension 0

Morale

• On peut suivre les trous d'un complexe à un autre dans une filtration (ils ne sont pas indépendants)
• L'homologie persistante permet de définir la date de naissance et de mort d'un trou, donc aussi sa durée